“筷子（游戏）”在这里重定向。有关逻辑难题，请参见Hashiwokakero 。
游戏的分数在双手的手指上进行了跟踪。
筷子（有时称为计算器或仅仅是棍棒）是一个针对两个或更多玩家的手游戏，其中玩家从每只手伸出许多手指，并通过轮流将一只手靠在另一只手上来转移这些分数。 Chopsticks是组合游戏的一个例子，并以完美的玩法的意义解决了，从任何时候都知道最佳策略。
描述
游戏玩法
筷子由手指上的手指组成。
每个玩家都以两个分（每只手的一根手指）开头。轮流敲击对手的手，这将指点添加到它等于敲击手的值。当对手的手被轻拍时，玩家的手不会改变。例如，如果对方的球员手上有最大积分数，则如果他们决定淘汰另一个球员的手，例如球员有5分，而另一个则有两个，则可能会从中减分。五分球的球员不能给另一个球员的一部分得分以避免被淘汰。当一只手得到五个或更多点时，它被“敲出来”，被称为死手。死手不能攻击或受到攻击。一名球员通过击败对手的双手获胜。
球员可以在自己的手中“划分”得分，而不是在轮到他们轮流进行攻击。拆分可以是转移或分区。转移涉及将一定数量的点从一只活的手移到另一只手。将所有点从一只手转移出来（“自杀”），并在某些变化中允许。一个师可以通过从活着的手移动点来复活死手，从而使其重新发挥作用。新分布必须与原始分布不同。玩家可能不会简单地交换双手之间的点。
由于游戏的简单基本结构，因此有许多其他规则的变化。在某些变化中，总和大于5“卷”到较小的值，从总和中减去5（模块化算术）；只有在恰好有五个点的情况下，只有一只手才能消除。在其他变化中，允许更复杂的转移和分裂移动。
缩写
两种筷子游戏中的每个位置都可以编码为四位数的数字，每个数字范围从0到4不等，代表每只手上的活动手指的数量。可以将其视为[ABCD]，其中A和B是即将轮到他们的球员的手，C和D是球员的手，他们不会轮到他们。每对双手都按升序注明，因此每个不同的位置都由一个和只有一个四位数的数字表示。例如，不允许代码1023，应注明0123。
起始位置为1111。下一个位置必须为1211。下一个位置必须为1212或1312。在游戏期间，最小的位置是0000，最大的位置为4444。
这种缩写可以扩展到与更多玩家的游戏。一个三人游戏可以用六位数字表示（例如[111211]），其中每对相邻的数字代表一个玩家，并且根据玩家何时轮到他们的轮流来订购每对。最左边的一对代表了球员即将轮到他的手。中间对代表接下来要去的球员，依此类推。最右边的一对代表了必须在轮到他之前等待最长的球员（通常是因为他只是去了）。
移动
根据正常规则，最多有14项可能的动作：
四次攻击（A→C，A→D，B→C，B→D）
四个部门（02→11，03→12，04→13，04→22）
六个转移（13→22、22→13、14→23、23→14、24→33、33→24）
但是，在给定的回合中只有5个或更少。例如，早期位置1312可以成为2213、1313、2413、0113或1222。
游戏长度
最短的游戏是5个动作。有一个实例：
1111 1211 1312 0113 1401 0014
没有重新访问（重复位置），最长的游戏是9个动作。有两个实例：
1111 1211 1212 2212 2322 0223 0202 0402 0104 0001
1111 1211 1212 2312 2323 0323 0303 0103 0401 0004
通过重新审视，最长的游戏是无限的。
位置
由于滚动金额为5，因此Chopsticks是一款base-5游戏。在两个玩家游戏中，每个位置为四位数。从0000到4444（基数5）的计数可产生625个位置。但是，这包括冗余 - 这些位置中的大多数是不正确的符号（例如0132、1023和1032是不正确的0123符号），它们在游戏玩法中的功能相同，在功能上是相同的。
要查找功能上不同的位置的数量，请注意，每个玩家可以是15对（00，01，02，03，04，04，11，12，13，14，22，23，23，23，24 ，24，33，34） 44）。有两个玩家，有15*15 = 225在功能上不同的位置。通常， 玩家，有在功能上不同的位置。
However, there are 21 unreachable positions: 0000, 0100, 0200, 0300, 0400, 1100, 1101, 1200, 1300, 1400, 2200, 2202, 2300, 2400, 3300, 3303, 3400, 3444, 4400, 4404, and 4444 。
这些位置中的15位只是一个具有15对截然不同的两对的球员，而另一个玩家死了。问题在于，死去的球员是轮到他的球员（因此右侧的“ 00”）。由于玩家不能自行输掉，因此这些位置是无法达到的。
这些职位中有4个是要移动[KK]的球员，而另一个具有[0k]的球员，其中 。这是无法实现的，因为刚刚[0k]的玩家无法分裂，因此玩家必须使用他的[0k]攻击。但是，没有办法使用[0k]攻击敌人，以便他们移至[kk]。那将需要攻击一只非法的死手。
其余两个位置是3444和4444。4444是无法实现的，因为玩家无法从分裂中达到[44]，因此必须已经拥有[44]。在受[44]攻击后唯一可能进入[44]的一对是[04]，这再次要求攻击死手。 3444实际上是可以达到的，但仅从4444. 4444从4444到达4444，因此3444也不是3444。
这总共提供了204个独特的，可到达的位置。
有14个可触及的残局：0001、0002、0003、0004、0011、0012、0013、0014、0022、0023、0023、0024、0033、0033、0034，0044。换句话说，有人可以使用14个不同的现场对中的任何一个获胜。在这14个结局中，第一个球员赢得了其中的8个，假设比赛以最小动作数量结束。
概括
筷子可以推广到 -type游戏，哪里是球员的数量， 是翻车金额。
少于两个球员
在一场单人游戏中，这位玩家胜利以成为游戏中的最后一个玩家而赢得胜利。零玩家的比赛同样很琐碎，因为没有赢家。
两个球员
给出和一个翻滚 ，，，，
有职位，包括冗余。
有不同的手指对 -三角形数），因此在功能上不同的位置。
为了 ， 有无法达到的位置。
当当前玩家有任何独特的一对并且另一个玩家死亡时，就会发生无法实现的位置。但是，死去的球员是轮到他的球员。由于球员不能自行输掉，因此这些位置是无法达到的。
当当前玩家拥有另一个球员有和 ， 为了 。这些位置是无法到达的，因为其他玩家[CD]在上一轮上没有分裂，因此必须使用他们的活着的手攻击。但是，没有办法攻击，因此导致目标具有价值双手 ，因为这将需要攻击一只非法的死手。
当两个球员都有两只价值的手时，就会发生无法达到的位置 。因此，以前的球员无法分裂，因此必须攻击。但是要导致对手的手有价值可能需要攻击一只尸体，这是非法的。
当当前玩家拥有和 ，另一个球员有 。该位置只有一个先前的位置，这在起始位置是无法实现的。
因此， ， 有可达到的位置。
滚下
位置
在功能上不同的位置
可达到的位置
3
81
36
26
4
256
100
85
5
625
225
204
6
1296
441
413
7
2401
784
748
8
4096
1296
1251
9
6561
2025
1970
10
10000
3025
2959
11
14641
4356
4278
12
20736
6084
5993
超过两个球员
给出5个滚动
有2个球员，有204个职位。
有3个球员，有3,337个职位。
拥有4个球员，有25,000多个职位。
退化病例
一款档次量为1的游戏是琐碎的游戏，因为所有手都开始死了。
截止量为2的游戏是退化的，因为分裂是不可能的，并且翻转和截止变化会导致同一游戏。手要幺活着，死了，没有中间状态，攻击手杀死了手。实际上，可以简单地保留玩家拥有的“手”数量（通过使用手指或其他计数方法），当玩家攻击对手时，对手的手数量减少了。总共有游戏中可达到的位置，游戏长度为 。两名球员比赛被以第一人称胜利得到了强烈的解决。
当两个玩家只有一只手时，游戏就会变成堕落，因为分裂不会发生，并且每个玩家只有一个动作。给出了 ，之后的每个位置游戏中的动作可以由元组代表 ， 在哪里是个 -斐波那契号和 。位置数量至少为正数这样分裂 。这种变体的强烈解决是双方的胜利，具体取决于以及斐波那契数的划分属性。游戏的长度是 。
变化
MISère ：第一个让双手杀死胜利的球员。
自杀：允许球员分手杀死自己的一只手。例如，在1201位置，玩家可以执行12→03，从而使比赛达到0103。对手被迫玩B→D，将游戏带到0401，这时第一个玩家的快速胜利是可能的。
掉期/ cherri ：如果玩家有两个不平等的活人，他们可能会互换（尽管轮到他们）。由于明显的原因，这种变化通常会通过重复或无限循环得出。为避免这种情况，可以将限制放在玩家可以在不被攻击之前受到攻击的连续掉期数量上。
突然死亡：球员只有一根手指就输了（双手）。或者，每个球员都可以从三个生命开始，每次降到[01]时，他们都会失去生命。
META ：如果玩家的手加起来可达五个以上，则可以将它们结合起来，从总数中减去五个，然后将其余部分分开。例如，[44]总计8，在减去五个后变为3；然后可以将它们分为[12]。因此，可以单一移动从[44]转到[12]。 META解锁2个新的可能的动作（34→11，44→12）。如果同时玩元和自杀，则解锁了四个额外的动作（24→01、33→01、34→02、44→03），总共最多可以进行20个可能的动作。
洛根（Logan）条款：允许玩家自杀和互换，但前提是同时进行两者（即将死手换成活人）。
死亡攻击：允许球员攻击死者。攻击死手会在攻击之前将死手视为0。
截止或五个游戏：如果一只手超过五个手指，那就死了（与官方规则中描述的滚动相反）。
僵尸：有三个或三个以上的球员，如果一个球员被淘汰，那么他们将永久减少到一根手指。随后，他们可能会进攻，但可能不会分裂或攻击（由克里斯·班迪（Chris Bandy）发明）。
仅转移：不允许划分。唯一允许的分裂是转移。
仅分区：不允许转移。唯一允许的分割是分裂。
拆分：只有在将一个偶数数字分为两个相等的半半时，或者选择的奇数数字在尽可能均匀的（使用整数）时进行分配。在这种变化中，第二名球员具有胜利策略（总是可以赢得胜利）。
树桩 /小刀：如果玩家在[01]，则分为[0.5 0.5]是合法的，以卷曲手指向下卷曲为代表。
更多的手：每个球员都有“两只以上的手”，通常是由多人团队组成的。每位球员的动手更多，可以进行不同的转移，分裂，交换和自杀规则，包括：
单个转移：每个玩家只能在两只手之间转移手指。
多次传递：每个玩家都可以在两只以上的手之间转移手指，只要结果状态与原始状态不同。
单个部门：玩家只能将手指从一只手转移到一只死手。
分区：玩家只能将手指从一只手转移到多手。
转移和分区：玩家可以将手指从多手转移到恢复死手。
不同的数字：当达到正数时，手死了 （在标准筷子中， ）。可以将不同的手计数系统用于大于5的数字，例如中国手指数， serary手指计数和手指二进制。这种变化通常包括翻滚。
太阳：两位球员每只手的4（4444）开始。这个位置在普通游戏玩法中无法到达（即开场位置1111）。
整数：允许通过翻转自己的手来交换自己的手之一，从而改变手的+/-符号。尽管手仍然死于5或-5，但这允许负值和零值。随着滚动，此动作与用5减去值代替手的值相同。
未命名：允许攻击自己的手，增加了两个额外的动作（A→B，B→A）。通常与交换和截止变体一起播放。
樱桃炸弹：恰好转移到5次将导致攻击者的手变成[11]，而目标的手变成[01]。在两人游戏中，该位置变为1101，这成为一个轻松的强迫胜利，因此最好与超过2个人一起玩。
自我辅助：随着他们的回合，玩家可以在任何活着的手中添加1个手指，或者将多个手指转移到死手中。这可以使自我毁灭（通过用4个手指将1只给活的手加1）和复活。这种游戏变化具有更复杂的策略。
最佳策略
使用上面的规则，两个完美的球员将无限期地发挥。游戏将继续循环。实际上，即使是经验不足的球员也可以通过简单地向前看来避免输掉。
在截止变化中，第一个球员可以强迫胜利。一个获胜的策略是在每次移动后始终达到以下配置之一（优先选择第一个）：
1211（从这里开始）
AB12，A和B可以是任何数量的手指（如果可能的话，立即获胜）
相反，仅在部门和自杀的变化中，第二名球员就具有获胜的策略。
也可以看看
莫拉（游戏） - 另一个手游戏，是基于机会而不是逻辑的。